Question

【題目】求函數f（x）= （a＞0且a≠1）的值域．

Answer 1

【答案】解：令t=2x﹣x2=﹣（x﹣1）2+1，

則t∈（0，1]，

當0＜a＜1時，f（x）≥loga1=0

當a＞1時，f（x）≤loga1=0

故當0＜a＜1時，f（x）的值域為[0，+∞），

當a＞1時，f（x）的值域為（﹣∞，0]

【解析】令t=2x﹣x2=﹣（x﹣1）2+1，t∈（0，1]，進行換元，當0＜a＜1時，f（x）≥loga1=0，當a＞1時，f（x）≤loga1=0，從而得出f（x）的值域.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的值域的相關知識，掌握求函數值域的方法和求函數最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數的值域中存在一個最小（大）數，這個數就是函數的最小（大）值．因此求函數的最值與值域，其實質是相同的，以及對復合函數單調性的判斷方法的理解，了解復合函數f[g(x)]的單調性與構成它的函數u=g(x)，y=f(u)的單調性密切相關，其規律：“同增異減”．