Question

【題目】如圖，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，E、F、G分別是棱A1B1、AB、A1D1的中點．

（Ⅰ）求證：GE⊥平面FCC1；
（Ⅱ）求二面角B﹣FC1﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】解：因為AB=4，BC=CD=2，F是棱AB的中點，

所以BF=BC=CF，△BCF為正三角形，因為ABCD為等腰梯形，

所以∠BAD=∠ABC=60°，取AF的中點M，

連接DM，則DM⊥AB，所以DM⊥CD．

以DM，DC，DD1所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，

則D（0，0，0）， ， C（0，2，0），C1（0，2，2）， ， ， ，

所以 ， ， ．

設平面CC1F的法向量為 ，則

∴ 取 ．

（Ⅰ）證明：GE的方向向量為 ，

∵ ，∴GE⊥平面FCC1．

（Ⅱ）解： ，設平面BFC1的法向量為 ，則

所以 取 ，

則 ， ， ，

所以 ，由圖可知二面角B﹣FC1﹣C為銳角，

所以二面角B﹣FC1﹣C的余弦值為 ．

【解析】（Ⅰ）由題意取AF得中點M，連接DM得出DM⊥CD根據題意，建立空間直角坐標系，利用向量法求解即可得證。（Ⅱ）根據題意建立空間直角坐標系求出各個點的坐標進而求出各個向量的坐標，設出平面BFC1和平面CC1F的法向量，由向量垂直的坐標運算公式可求出法向量，再利用向量的數量積運算公式求出余弦值即可。。
【考點精析】通過靈活運用直線與平面垂直的判定，掌握一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想即可以解答此題．