Question

【題目】已知定義在[0，1]上的函數滿足：①f（0）=f（1）=0，②對于所有x，y∈[0，1]且x≠y有|f（x）﹣f（y）|＜ |x﹣y|．若當所有的x，y∈[0，1]時，|f（x）﹣f（y）|＜k，則k的最小值為 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：依題意，定義在[0，1]上的函數y=f（x）的斜率|m| ，

依題意，m＞0，構造函數f（x）= ，滿足f（0）=f（1）=0，|f（x）﹣f（y）|＜ |x﹣y|．

當x∈[0， ]，且y∈[0， ]時，|f（x）﹣f（y）|=|kx﹣ky|=k|x﹣y|≤k| |=k× ，

當x∈[0， ]，且y∈[ ，1]時，|f（x）﹣f（y）|=|kx﹣（k﹣ky）|=|k（x+y）﹣k|≤|k（1+ ）﹣k|=k× ，

當x∈[ ，1]，且y∈[0， ]時，同理可得，|f（x）﹣f（y）| ，

當x∈[ ，1]，且y∈[ ，1]時，|f（x）﹣f（y）|=|（k﹣kx）﹣（k﹣ky）|=k|x﹣y|≤k×（1﹣ ）= ．

綜上所述，對所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）| ，

∵對所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜k恒成立，

∴k≥ ，

即k的最小值為 ．

故答案為： ．

構造函數，分情況討論，求出恒成立時滿足的條件，可得k的取值。