Question

【題目】已知函數(shù)h（x）=﹣|x﹣3|．
（1）若h（x）﹣|x﹣2|≤n對任意的x＞0恒成立，求實數(shù)n的最小值；
（2）若函數(shù)f（x）= ，求函數(shù)g（x）=f（x）+h（x）的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵h（x）﹣|x﹣2|≤n對任意的x＞0恒成立，等價于﹣|x﹣3|﹣|x﹣2|≤n對任意的x＞0恒成立，

等價于﹣n≤（|x﹣2|+|x﹣3|）min對任意的x＞0．

因為|x﹣2|+|x﹣3|≥|x﹣2﹣（x﹣3）|=1，當且僅當x∈[2，3]時取等號，所以﹣n≤1，得n≥﹣1．

所以實數(shù)n的最小值為﹣1．

（2）因為f（x）= ，g（x）=f（x）+h（x），

所以g（x）=f（x）﹣|x﹣3|= ，

當0＜x＜3時， =2 +2，

當x≥3時，x+3≥6．

綜上，g（x）≥2 +2．

所以函數(shù)g（x）=f（x）+h（x）的值域為[2 +2，+∞）．

【解析】(1)使用絕對值不等式求出的最小值為1，所以n的最小值為-1；（2）根據(jù)分段函數(shù)，寫出在不同區(qū)間的解析式，求出各段函數(shù)中的值域，綜上得出g（x）的值域.
【考點精析】本題主要考查了函數(shù)的值域的相關知識點，需要掌握求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數(shù)的值域中存在一個最�。ù螅�數(shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最小（大）值．因此求函數(shù)的最值與值域，其實質是相同的才能正確解答此題．