Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，E為AB的中點，P為以A為圓心、AB為半徑的圓弧上的任意一點，設向量 ，則λ+μ的最小值為 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：以A為原點，以AB所在的為x軸，建立坐標系，設正方形ABCD的邊長為1，

則E（ ，0），C（1，1），D（0，1），A（0，0），B（1，0）．

設 P（cosθ，sinθ），∴ =（1，1）．

再由向量 =λ（ ，﹣1）+μ（cosθ，sinθ）=（ ，﹣λ+μsinθ ）=（1，1），

∴ ，∴ ，

∴λ+μ= = =﹣1+ ．

由題意得 0≤θ≤ ，∴0≤cosθ≤1，0≤sinθ≤1．

求得（λ+μ）′= = ＞0，

故λ+μ在[0， ]上是增函數，故當θ=0時，即cosθ=1，這時λ+μ取最小值為 = ，

故答案為： ．

以A為原點，AB為x軸，AD為y軸建立平面直角坐標系，表示出各點坐標，設P（cosθ，sinθ），由向量運算得出λ+μ的解析式，求導并在給定區間得出最值.