Question

【題目】已知橢圓G： +y2=1，與x軸不重合的直線l經過左焦點F1 ， 且與橢圓G相交于A，B兩點，弦AB的中點為M，直線OM與橢圓G相交于C，D兩點．
（1）若直線l的斜率為1，求直線OM的斜率；
（2）是否存在直線l，使得|AM|2=|CM||DM|成立？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知可知F1（﹣1，0），又直線l的斜率為1，所以直線l的方程為y=x+1，

設A（x1，y1），B（x2，y2），

由 解得 或 ，

所以AB中點 ，

于是直線OM的斜率為 ．

（2）假設存在直線l，使得|AM|2=|CM||DM|成立．

當直線l的斜率不存在時，AB的中點M（﹣1，0），

所以 ， ，矛盾；

故直線的斜率存在，可設直線l的方程為y=k（x+1）（k≠0），

聯立橢圓G的方程，得（2k2+1）x2+4k2x+2（k2﹣1）=0，

設A（x1，y1），B（x2，y2），則 ， ，

于是 ，

點M的坐標為 ， ．

直線CD的方程為 ，聯立橢圓G的方程，得 ，

設C（x0，y0），則 ，

由題知，|AB|2=4|CM||DM|=4（|CO|+|OM|）（|CO|﹣|OM|）=4（|CO|2﹣|OM|2），

即 ，

化簡，得 ，故 ，

所以直線l的方程為 ， ．

【解析】（1）根據題意寫出過左焦點的直線方程，聯立橢圓方程由韋達定理，得出中點坐標，計算OM所在直線的斜率；（2）假設這樣的直線存在，分情況討論，當直線斜率不存在時，可得出條件不成立；當直線斜率存在時，由點斜式寫出直線方程，聯立橢圓方程由韋達定理表示出中點M的坐標，以及弦長AB，再寫出CD所在直線的方程，同樣聯立橢圓方程寫出C點坐標，表示出OC的長度，當條件成立時可解出k的值，從而得到直線方程.