Question

【題目】已知函數f（x）=（log2x﹣2）（log4x﹣ ）
（1）當x∈[2，4]時．求該函數的值域；
（2）若f（x）≥mlog2x對于x∈[4，16]恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：

此時， ．，∵ ∴

所以函數的值域為 ；

（2）f（x）≥mlog2x對于x∈[4，16]恒成立，

即2t2﹣3t+1≥mt對t∈[1，2]恒成立，∴ ，

易知 ，∴g（t）min=g（1）=0，∴m≤0．

【解析】通過換底公式后f（x）=，令，x∈[2，4]時，t∈[，1]，換元后求出函數的值域，（2）f（x）≥mlog2x對于x∈[4，16]恒成立，即2t2﹣3t+1≥mt對t∈[1，2]恒成立，進行參變分離可得到m的取值范圍.
【考點精析】根據題目的已知條件，利用函數的值域和基本不等式在最值問題中的應用的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握求函數值域的方法和求函數最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數的值域中存在一個最小（大）數，這個數就是函數的最小（大）值．因此求函數的最值與值域，其實質是相同的；用基本不等式求最值時（積定和最小，和定積最大），要注意滿足三個條件“一正、二定、三相等”．