Question

16．已知直線l：y+2=0和圓C：x²+y²-2y=0，動圓M與l相切，而且與C內切．求當M的圓心距直線g：x-y-2=0最近時，M的方程．

Answer 1

分析 設圓M的圓心為M（x₀，y₀），半徑為r，由題目條件可以求出圓心M的軌跡$x_0^2=4{y_0}$．根據當M的圓心距直線g：x-y-2=0最近的條件，利用圓心距和二次函數的性質即可求出M的方程．

解答 解：設圓M的圓心為M（x₀，y₀），半徑為r，
則依題意有$\sqrt{x_0^2+{{（{{y_0}-1}）}^2}}=|{{y_0}+2}|-1（{{y_0}＞-2}）$…（2分）
即：$\sqrt{x_0^2+{{（{{y_0}-1}）}^2}}={y_0}+1（{{y_0}≥-1}）$，
也即：$x_0^2=4{y_0}$…（4分）
設M（x₀，y₀）到直線g的距離為d，
則$d=\frac{{|{{x_0}-{y_0}-2}|}}{{\sqrt{2}}}$…（6分）
即$d=\frac{1}{{\sqrt{2}}}（{\frac{1}{4}x_0^2-{x_0}+2}）$…（8分）
當且僅當x₀=2時，d最小，
此時由r=|y₀+2|得r=3…（10分）
∴所求圓M的方程為（x-2）²+（y-1）²=9…（12分）

點評 本題考查軌跡方程的求法，考查圓與圓的位置關系的幾何意義，考查學生的計算能力，屬于中檔題．