Question

8．已知函數f（x）=lnx-x+1．
（1）求曲線y=f（x）在點A（1，f（1））處的切線方程；
（2）證明：不等式lnx≤x-1恒成立．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，計算f′（1），f（1），求出切線方程即可；
（2）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，從而求出函數的最大值，證出結論即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{1-x}{x}$，（x＞0），
∴f′（1）=0，f（1）=0，
故切線方程是：y=0；
（2）證明：由（1）令f′（x）＞0，解得：x＜1，
令f′（x）＜0，解得：x＞1，
故f（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減，
∴f（x）的最大值是f（1）=0，
∴f（x）≤0在（0，+∞）恒成立，
即lnx≤x-1恒成立．

點評 本題考查了切線方程問題，考查函數的單調性、最值問題，考查導數的應用，是一道中檔題．