Question

19．已知f（x）在[-1，1]上既是奇函數又是減函數，則滿足f（1-x）+f（3x-2）＜0的x的取值范圍是$（{\frac{1}{2}，1}]$．

Answer 1

分析 利用函數的奇偶性和單調性，將不等式進行轉化，解不等式即可．

解答 解：∵函數y=f（x）在[-1，1]上是奇函數，
∴不等式f（1-x）+f（3x-2）＜0等價為f（1-x）＜-f（3x-2）=f（2-3x）．
又函數在[-1，1]上單調遞減，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1≤1-x≤1}\\{-1≤3x-2≤1}\\{1-x＞2-3x}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{2}$＜x≤1．
即不等式成立的x的范圍是 $（{\frac{1}{2}，1}]$．
故答案為 $（{\frac{1}{2}，1}]$．

點評 本題主要考查函數奇偶性和單調性的應用，利用條件將函數進行轉化是解決本題的關鍵．