Question

9．交通指數是交通擁堵指數的簡稱，是綜合反映道路網暢通或擁堵的概念，記交通指數為T，其范圍為[0，10]，分為五個級別，T∈[0，2）暢通；T∈[2，4）基本暢通；T∈[4，6）輕度擁堵；T∈[6，8）中度擁堵；T∈[8，10]嚴重擁堵．早高峰時段（T≥3），從某市交通指揮中心隨機選取了三環以內的50個交通路段，依據其交通指數數據繪制的頻率分布直方圖如右圖．
（Ⅰ）這50個路段為中度擁堵的有多少個？
（Ⅱ）據此估計，早高峰三環以內的三個路段至少有一個是嚴重擁堵的概率是多少？
（III）某人上班路上所用時間若暢通時為20分鐘，基本暢通為30分鐘，輕度擁堵為36分鐘；中度擁堵為42分鐘；嚴重擁堵為60分鐘，求此人所用時間的數學期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用（0.2+0.16）×1×50即可得出這50路段為中度擁堵的個數．
（Ⅱ）設事件A“一個路段嚴重擁堵”，則P（A）=0.1，事件B 至少一個路段嚴重擁堵”，則P$（\overline{B}）$=（1-P（A））³．P（B）=1-P（$\overline{B}$）=0.271，可得三個路段至少有一個是嚴重擁堵的概率．
（III）利用頻率分布直方圖即可得出分布列，進而得出數學期望．

解答 解：（Ⅰ）（0.2+0.16）×1×50=18，這50路段為中度擁堵的有18個．
（Ⅱ）設事件A“一個路段嚴重擁堵”，則P（A）=0.1，
事件B 至少一個路段嚴重擁堵”，則P$（\overline{B}）$=（1-P（A））³=0.729．
P（B）=1-P（$\overline{B}$）=0.271，所以三個路段至少有一個是嚴重擁堵的概率是0.271．
（III）由頻率分布直方圖可得：分布列如下表：

X	30	36	42	60
P	0.1	0.44	0.36	0.1

E（X）=30×0.1+36×0.44+42×0.36+60×0.1=39.96．
此人經過該路段所用時間的數學期望是39.96分鐘．

點評 本題考查了頻率分布直方圖的應用、互斥事件的概率計算公式、數學期望，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．