Question

1．設函數y=f（x）在（-∞，+∞）內有定義，對于給定的正數k，定義函數：${f_k}（x）=\left\{\begin{array}{l}f（x）（f（x）≤k）\\ k\;\;\;\;\;\;（f（x）＞k）\end{array}\right.$，取函數f（x）=2-x-e^-x，若對任意的x∈（-∞，+∞），恒有f_k（x）=f（x），則（　　）

• A． k的最大值為2
• B． k的最小值為2
• C． k的最大值為1
• D． k的最小值為1

Answer 1

分析 由題意可知f（x）≤k恒成立，利用導數判斷f（x）的單調性計算f（x）的最大值，從而得出k的范圍．

解答 解：∵對任意的x∈（-∞，+∞），恒有f_k（x）=f（x），
∴f（x）≤k恒成立，∴f_max（x）≤k．
∵f′（x）=-1+$\frac{1}{{e}^{x}}$，
∴當x＜0時，f′（x）＞0，當x＞0時，f′（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，0）上是增函數，在[0，+∞）上是減函數，
∴f_max（x）=f（0）=1．
∴k≥1．
故選：D．

點評 本題考查了函數單調性的判斷，函數最值及函數恒成立問題，屬于中檔題．