Question

8．已知函數$f（x）=xlnx+\frac{1}{2}a{x^2}-1$，且f'（1）=-1．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）若對任意x∈（0，+∞），都有f（x）-2mx+1≤0，求m的取值范圍；
（Ⅲ）證明函數y=f（x）+2x的圖象在g（x）=xe^x-x²-1圖象的下方．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得導數，代入x=1，解方程可得a；
（Ⅱ）由題意可得xlnx-x²-2mx≤0恒成立，即：$m≥\frac{1}{2}lnx-\frac{1}{2}x$恒成立，令$h（x）=\frac{1}{2}lnx-\frac{1}{2}x$，求出h（x）的導數，單調區間，求得最大值，即可得到m的取值范圍；
（Ⅲ）要證明函數y=f（x）+2x的圖象在g（x）=xe^x-x²-1圖象的下方，即證：f（x）+2x＜xe^x-x²-1恒成立，即證lnx≤x-1，即證：e^x-x-1＞0，令φ（x）=e^x-x-1，求得導數，得到單調性，即可得證．

解答 解：（Ⅰ）易知f'（x）=lnx+1+ax，
所以f'（1）=1+a，又f'（1）=-1…（1分）
∴a=-2…（2分）
∴f（x）=xlnx-x²-1．…（3分）
（Ⅱ）若對任意的x∈（0，+∞），都有f（x）-2mx+1≤0，
即xlnx-x²-2mx≤0恒成立，即：$m≥\frac{1}{2}lnx-\frac{1}{2}x$恒成立…（4分）
令$h（x）=\frac{1}{2}lnx-\frac{1}{2}x$，則$h'（x）=\frac{1}{2x}-\frac{1}{2}=\frac{1-x}{2x}$，…（6分）
當0＜x＜1時，$h'（x）=\frac{1-x}{2x}＞0$，所以h（x）單調遞增；
當x＞1時，$h'（x）=\frac{1-x}{2x}＜0$，所以h（x）單調遞減；…（8分）
∴x=1時，h（x）有最大值$h（1）=-\frac{1}{2}$，
∴$m≥-\frac{1}{2}$，即m的取值范圍為$[-\frac{1}{2}，+∞）$．…（10分）
（Ⅲ）證明：要證明函數y=f（x）+2x的圖象在g（x）=xe^x-x²-1圖象的下方，
即證：f（x）+2x＜xe^x-x²-1恒成立，
即：lnx＜e^x-2…（11分）
由（Ⅱ）可得：$h（x）=\frac{1}{2}lnx-\frac{1}{2}x≤-\frac{1}{2}$，所以lnx≤x-1，
要證明lnx＜e^x-2，只要證明x-1＜e^x-2，即證：e^x-x-1＞0…（12分）
令φ（x）=e^x-x-1，則φ'（x）=e^x-1，
當x＞0時，φ'（x）＞0，所以φ（x）單調遞增，
∴φ（x）＞φ（0）=0，
即e^x-x-1＞0，…（13分）
所以x-1＜e^x-2，從而得到lnx≤x-1＜e^x-2，
所以函數y=f（x）+2x的圖象在g（x）=xe^x-x²-1圖象的下方．…（14分）

點評 本題考查導數的運用：求單調區間和極值、最值，考查恒成立思想的運用和參數分離方法，以及構造函數法，注意運用分析法證明不等式，屬于中檔題．