Question

5．已知拋物線x²=y，點(diǎn)A，B在該拋物線上且位于y軸的兩側(cè)，且直線AB與y軸交于點(diǎn)（0，a），若∠AOB為銳角（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1，+∞）．

Answer 1

分析 由題意設(shè)出過M點(diǎn)的直線方程為y=kx+a，聯(lián)立直線方程和拋物線方程，利用根與系數(shù)關(guān)系得到A，B兩點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的積，由向量$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的數(shù)量積大于0求得a的范圍．

解答 解：由題意設(shè)直線l的方程為y=kx+a，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}}\\{y=kx+a}\end{array}\right.$，得x²-kx-a=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=k，x₁x₂=-a，
∴y₁y₂=（x₁x₂）²=a²．
∵$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=a²-a＞0，
解得a＞1
故a的范圍為（1，+∞），
故答案為：（1，+∞）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，涉及直線與圓錐曲線關(guān)系問題，常采用聯(lián)立直線與圓錐曲線，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系求解，是中檔題．