Question

15．已知f（x）=2xlnx，g（x）=x³+ax²-x+2．
（1）如果函數g（x）的單調遞減區間為$（-\frac{1}{3}，1）$，求函數g（x）的解析式；
（2）在（1）的條件下，求函數y=g（x）的圖象在點P（-1，g（-1））處的切線方程；
（3）已知不等式f（x）≤g'（x）+2恒成立，若方程ae^a-m=0恰有兩個不等實根，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，根據不等式和方程的根的關系求出a的值，求出函數的解析式即可；
（2）求出函數的導數，計算g′（-1）和g（-1）的值，求出切線方程即可；
（3）問題轉化為$a≥lnx-\frac{3}{2}x-\frac{1}{2x}$對x∈（0，+∞）上恒成立，設$h（x）=lnx-\frac{3x}{2}-\frac{1}{2x}$，根據函數的單調性求出h（x）的最大值，從而求出a的范圍，再求出m的范圍即可．

解答 解：（1）g'（x）=3x²+2ax-1，
由題意3x²+2ax-1＜0的解集為$（-\frac{1}{3}，1）$，
即3x²+2ax-1=0的兩根分別是$-\frac{1}{3}$，1，
代入得a=-1，
∴g（x）=x³-x²-x+2．            …．（3分）
（2）由（1）知，g（-1）=1，
∴g'（x）=3x²-2x-1，g'（-1）=4，
∴點P（-1，1）處的切線斜率k=g'（-1）=4，
∴函數y=g（x）的圖象在點P（-1，1）處的切線方程為y-1=4（x+1），
即4x-y+5=0．                   …（6分）
（3）由題意知2xlnx≤3x²+2ax+1對x∈（0，+∞）上恒成立，
可得$a≥lnx-\frac{3}{2}x-\frac{1}{2x}$對x∈（0，+∞）上恒成立，…（7分）
設$h（x）=lnx-\frac{3x}{2}-\frac{1}{2x}$，
則$h'（x）=\frac{1}{x}-\frac{3}{2}+\frac{1}{{2{x^2}}}=-\frac{（x-1）（3x+1）}{{2{x^2}}}$，
令h'（x）=0，得x=1，$x=-\frac{1}{3}$（舍），
當0＜x＜1時，h'（x）＞0；當x＞1時，h'（x）＜0，
∴當x=1時，h（x）取得最大值，h（x）_max=-2，∴a≥-2．…（10分）
令φ（a）=ae^a，則φ'（a）=e^a+ae^a=e^a（a+1），
所以φ（a）在[-2，-1]遞減，在（-1，+∞）遞增，
∵$φ（-2）=-2{e^{-2}}=-\frac{2}{e^2}$，$φ（-1）=-{e^{-1}}=-\frac{1}{e}$，當x→+∞時，φ（x）→+∞，
所以要把方程ae^a-m=0恰有兩個不等實根，只需$-\frac{1}{e}＜m≤-\frac{2}{e^2}$．…（12分）

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及轉化思想，是一道綜合題．