Question

17．已知實數x、y滿足方程x²+y²+4y-96=0，有下列結論：
①x+y的最小值為$-2-10\sqrt{2}$；
②對任意實數m，方程（m-2）x-（2m+1）y+16m+8=0（m∈R）與題中方程必有兩組不同的實數解；
③過點M（0，18）向題中方程所表示曲線作切線，切點分別為A、B，則直線AB的方程為y=3；
④若x，y∈N^*，則xy的值為36或32．
以上結論正確的有①③④（用序號表示）

Answer 1

分析 根據圓的標準方程得到圓的參數方程，由x+y=-2+10$\sqrt{2}$sin（θ+45°）≥-2-10$\sqrt{2}$，判斷①正確；方程（m-2）x-（2m+1）y+16m+8=0表示過點（0，8）的直線系，而點程（m-2）x-（2m+1）y+16m+8=0表示過點（0，8）的直線系，而點（0，8）在圓上，故直線和圓可能相切、相交，判斷②不正確；由圓的對稱性、切線的對稱性知，A，B關于y軸對稱，求出點M到AB的距離為15，故AB的方程為y=18-15=3，判斷③正確；利用圓x²+（y+2）²=100上的坐標為正整數點有（6，6），（8，4），從而得到x，y∈N^*時xy的值，判斷④正確．

解答 解：方程x²+y²+4y-96=0 即 x²+（y+2）²=100，表示以（0，-2）為圓心，以10為半徑的圓．
令x=10cosθ，y=-2+10sinθ，有x+y=-2+10$\sqrt{2}$sin（θ+45°）≥-2-10$\sqrt{2}$，故①正確；
方程（m-2）x-（2m+1）y+16m+8=0（m∈R） 即 m（x-2y+16）-（2x+y-8）=0，
表示過x-2y+16=0 與2x+y-8=0交點（0，8）的直線系，而點（0，8）在圓上，
故有的直線和圓有兩個交點，有的直線和圓有一個交點，故②不正確；
過點M（0，18）向題中方程所表示曲線作切線，切點分別為A，B，由圓的對稱性、切線的對稱性知，
A，B關于y軸對稱．而切線MA=$\sqrt{2{0}^{2}-1{0}^{2}}=10\sqrt{3}$，MA 與y軸的夾角為30°，
點M到AB的距離為MA•cos30°=15，故AB的方程為y=18-15=3，故③正確；
圓x²+（y+2）²=100上的坐標為正整數點有（6，6），（8，4），若x，y∈N^*，則xy的值為36或32，故④正確．
綜上，①③④正確，
故答案為：①③④．

點評 本題考查圓的標準方程，參數方程，直線系方程，切線長的計算方法，判斷②不正確是解題的難點，是中檔題．