Question

12．若$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$是夾角為60°的單位向量，$\overrightarrow{a}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{b}$=-3$\overrightarrow{{e}_{1}}$+2$\overrightarrow{{e}_{2}}$，則$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夾角為（　　）

• A． 120°
• B． 30°
• C． 60°
• D． 150°

Answer 1

分析 由已知求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$及$|\overrightarrow{a}|$，$|\overrightarrow{b}|$，代入數量積求夾角公式得答案．

解答 解：由題意，$|\overrightarrow{{e}_{1}}|=|\overrightarrow{{e}_{2}}|=1$，且＜$\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}$＞=60°，
且$\overrightarrow{a}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{b}$=-3$\overrightarrow{{e}_{1}}$+2$\overrightarrow{{e}_{2}}$，
∴$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{（2\overrightarrow{{e}_{1}}+\overrightarrow{{e}_{2}}）^{2}}=\sqrt{4{\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}+4\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}+{\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}}$=$\sqrt{4+4×1×1×\frac{1}{2}+1}$=$\sqrt{7}$，
$|\overrightarrow{b}|=\sqrt{（-3\overrightarrow{{e}_{1}}+2\overrightarrow{{e}_{2}}）^{2}}=\sqrt{9{\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}-12\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}+4{\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}}$=$\sqrt{9-12×1×1×\frac{1}{2}+4}=\sqrt{7}$．
$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=（2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$）（-3$\overrightarrow{{e}_{1}}$+2$\overrightarrow{{e}_{2}}$）=$-6{\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}+\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}+2{\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}$=$-6+1×1×\frac{1}{2}+2=-\frac{7}{2}$．
∴cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}=\frac{-\frac{7}{2}}{\sqrt{7}×\sqrt{7}}=-\frac{1}{2}$．
則$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夾角為120°．
故選：A．

點評 本題考查平面向量的數量積運算，考查由數量積求向量的夾角，是中檔題．