Question

15．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱長為1，點P為線段A₁C上的動點（包含線段端點），則下列結論正確的①②④
①當$\overrightarrow{{A_1}C}=3\overrightarrow{{A_1}P}$時，D₁P∥平面BDC₁；
②當$\overrightarrow{{A_1}C}=3\overrightarrow{{A_1}P}$時，A₁C⊥平面D₁AP；
③∠APD₁的最大值為90°；
④AP+PD₁的最小值為$\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$．

Answer 1

分析 利用三棱錐A-A₁B₁D₁的體積可知當$\overrightarrow{{A_1}C}=3\overrightarrow{{A_1}P}$時，P為A₁C與平面AB₁D₁的交點，根據平面AB₁D₁∥平面BDC₁可判斷①，根據A₁C⊥平面AB₁D₁可判斷②，根據等邊三角形AB₁D₁可判斷③，根據Rt△A₁AC≌Rt△A₁D₁C可判斷④．

解答 解：對于①，連結AB₁，B₁D₁，AD₁，則V${\;}_{A-{A}_{1}{B}_{1}{D}_{1}}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1$=$\frac{1}{6}$，
S${\;}_{△A{B}_{1}{D}_{1}}$=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×sin60°$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，A₁C=$\sqrt{3}$，
設A₁到平面AB₁D₁的距離為h，則$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×h$=$\frac{1}{6}$，解得h=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴h=$\frac{1}{3}$A₁C．
∴當$\overrightarrow{{A_1}C}=3\overrightarrow{{A_1}P}$時，P為A₁C與平面AB₁D₁的交點．
∵平面AB₁D₁∥平面BDC₁，
∵D₁P?平面AB₁D₁，∴D₁P∥平面BDC₁，故①正確；
對于②，由①可知P∈平面AB₁D₁，
∵A₁C⊥平面AB₁D₁，∴A₁C⊥平面D₁AP，故②正確；
對于③，由①可知當$\overrightarrow{{A_1}C}=3\overrightarrow{{A_1}P}$時，P為等邊△AB₁D₁的中心，
∴∠APD₁=120°，故③錯誤；
對于④，連結AC，D₁C，則Rt△A₁AC≌Rt△A₁D₁C，∴AP=D₁P，
∴AP的最小值為$\frac{A{A}_{1}•AC}{{A}_{1}C}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴AP+PD₁的最小值為$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．故④正確．
故答案為：①②④．

點評 本題考查了正方體的幾何特征，空間線面位置關系的判定，屬于中檔題．