【題目】已知函數
（
），
是
的導數.
（1）當
時，令
，
為
的導數.證明：在區間
存在唯一的極小值點；
（2）已知函數
在
上單調遞減，求
的取值范圍.
【答案】（1）見解析；（2）
【解析】
（1）設
，
，注意到
在
上單增，再利用零點存在性定理即可解決；
（2）函數
在
上單調遞減，則
在恒成立，即
在上恒成立，構造函數
，求導討論
的最值即可.
（1）由已知，
，所以
，
設
，，
當
時，單調遞增，而
，
，且在上圖象連續
不斷.所以在上有唯一零點
，
當
時，
；當
時，
；
∴
在
單調遞減，在
單調遞增，故在區間上存在唯一的極小
值點，即
在區間上存在唯一的極小值點；
（2）設
，
，
，
∴
在
單調遞增，
，
即
，從而
，
因為函數在上單調遞減，
∴
在上恒成立，
令
，
∵，
∴
，
在上單調遞減，
，
當時，
，則在上單調遞減，
，符合題意.
當
時，在上單調遞減，
所以一定存在
，
當
時，
，在
上單調遞增，
與題意不符，舍去.
綜上，
的取值范圍是
優質課堂快樂成長系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2020年春節期間，新型冠狀病毒（2019﹣nCoV）疫情牽動每一個中國人的心，危難時刻全國人民眾志成城．共克時艱，為疫區助力．我國S省Q市共100家商家及個人為緩解湖北省抗疫消毒物資壓力，募捐價值百萬的物資對口輸送湖北省H市．
（1）現對100家商家抽取5家，其中2家來自A地，3家來自B地，從選中的這5家中，選出3家進行調研．求選出3家中1家來自A地，2家來自B地的概率．
（2）該市一商家考慮增加先進生產技術投入，該商家欲預測先進生產技術投入為49千元的月產增量．現用以往的先進技術投入xi（千元）與月產增量yi（千件）（i＝1，2，3，…，8）的數據繪制散點圖，由散點圖的樣本點分布，可以認為樣本點集中在曲線
的附近，且：
，
，
，
，
，其中，
，
，根據所給的統計量，求y關于x回歸方程，并預測先進生產技術投入為49千元時的月產增量．
附：對于一組數據（u1，v1）（u2，v2），其回歸直線v＝α+βu的斜率和截距的最小二乘法估計分別為
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的普通方程為：
，以坐標原點為極點，
軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
，正方形
的頂點都在上，且逆時針依次排列，點
的極坐標為
（1）寫出曲線的參數方程，及點
的直角坐標；
（2）設
為橢圓上的任意一點，求：
的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某購物網站開展一種商品的預約購買，規定每個手機號只能預約一次，預約后通過搖號的方式決定能否成功購買到該商品.規則如下：（ⅰ）搖號的初始中簽率為
；（ⅱ）當中簽率不超過
時，可借助“好友助力”活動增加中簽率，每邀請到一位好友參與“好友助力”活動可使中簽率增加
.為了使中簽率超過
，則至少需要邀請________位好友參與到“好友助力”活動.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】《九章算術》中“勾股容方”問題：“今有勾五步，股十二步，問勾中容方幾何？”魏晉時期數學家劉徽在其《九章算術注》中利用出入相補原理給出了這個問題的一般解法：如圖1，用對角線將長和寬分別為
和
的矩形分成兩個直角三角形，每個直角三角形再分成一個內接正方形（黃）和兩個小直角三角形（朱、青）．將三種顏色的圖形進行重組，得到如圖2所示的矩形．該矩形長為
，寬為內接正方形的邊長
．由劉徽構造的圖形還可以得到許多重要的結論，如圖3．設
為斜邊
的中點，作直角三角形
的內接正方形對角線
，過點
作
于點
，則下列推理正確的是（ ）
①由圖1和圖2面積相等得
；
②由
可得
；
③由
可得
；
④由
可得
．
A.①②③④B.①②④C.②③④D.①③
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
，
.
（1）當
時，求函數
圖象在
處的切線方程；
（2）若對任意
，不等式
恒成立，求
的取值范圍；
（3）若存在極大值和極小值，且極大值小于極小值，求的取值范圍.
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