Question

【題目】已知函數(shù)．（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

（1）求的單調(diào)遞減區(qū)間；

（2）記，若，試討論在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．（參考數(shù)據(jù)：）

Answer 1

【答案】（1）．（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，解不等式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得解；

（2）求出，令，由導(dǎo)數(shù)的知識(shí)求得的單調(diào)性，然后通過(guò)討論的正負(fù)確定的單調(diào)性的極值，確定其零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

解：（1），定義域?yàn)?/span>．

．

由解得，解得．

∴的單調(diào)遞減區(qū)間為．

（2）由已知，∴．

令，則．

∵，∴當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，，

∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

∵，．

①當(dāng)，即時(shí)，，∴．

∴，使得，

∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

∵，∴．

又∵，

∴由零點(diǎn)存在性定理可得，此時(shí)在上僅有一個(gè)零點(diǎn)．

②若時(shí)，，

又∵在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，

∴，，使得，，

且當(dāng)、時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

∴在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

∵，∴．

∵，∴．

又∵，由零點(diǎn)存在性定理可得，

在和內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，

即此時(shí)在上有兩個(gè)零點(diǎn)．

綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上僅有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，在上有兩個(gè)零點(diǎn)．