Question

1．已知函數f（x）=e^x-ax，（e為自然對數的底數）．
（Ⅰ）討論f（x）的單調性；
（Ⅱ）若對任意實數x恒有f（x）≥0，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，通過討論a得到范圍，求出函數的單調區間即可；
（Ⅱ）由f（x）=e^x-ax-a，f'（x）=e^x-a，從而化恒成立問題為最值問題，討論求實數a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=e^x-ax，f′（x）=e^x-a，
當a≤0時，f′（x）＞0，則f（x）在R上單調遞增；
當a＞0時，令f′（x）=e^x-a=0，得x=lna，
則在（-∞，lna]上單調遞減，在（lna，+∞）上單調遞增；
（Ⅱ）由f（x）=e^x-ax，f'（x）=e^x-a，
若a＜0，則f'（x）＞0，函數f（x）單調遞增，
當x趨近于負無窮大時，f（x）趨近于負無窮大；
當x趨近于正無窮大時，f（x）趨近于正無窮大，
故a＜0不滿足條件．
若a=0，f（x）=e^x≥0恒成立，滿足條件．
若a＞0，由f'（x）=0，得x=lna，
當x＜lna時，f'（x）＜0；當x＞lna時，f'（x）＞0，
所以函數f（x）在（-∞，lna）上單調遞減，在（lna，+∞）上單調遞增，
所以函數f（x）在x=lna處取得極小值f（lna）=e^lna-a•lna=a-a•lna，
由f（lna）≥0得a-a•lna≥0，
解得0＜a≤e．
綜上，滿足f（x）≥0恒成立時實數a的取值范圍是[0，e]．

點評 本題考查了導數的綜合應用及恒成立問題，屬于中檔題．