Question

11．如圖，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AB=2AC，分別以A、B為圓心，AC的長為半徑作扇形ACD和扇形BDE，D在AB上，E在BC上．在△ACB中任取一點，這一點恰好在圖中陰影部分的概率是（　　）

• A． 1-$\frac{{\sqrt{3}π}}{6}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}π}}{6}$
• C． 1-$\frac{π}{4}$
• D． $\frac{π}{4}$

Answer 1

分析 設AC=1，求出S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，再求出S_陰影部分=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{π}{4}$，利用幾何概型的公式解答即可．

解答 解：設AC=1，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AB=2AC=2，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵分別以A、B為圓心，AC的長為半徑作扇形ACD和扇形BEF，
∴扇形ACD+扇形BEF的面積等于以1為半徑的圓的面積的四分之一，
∴S_扇形ACD+S_扇形BDE=$\frac{π}{4}$，
∴S_陰影部分=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{π}{4}$，
∴在△ACB中任取一點，這一點恰好在圖中陰影部分的概率是=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{π}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=1-$\frac{\sqrt{3}π}{6}$
故選：A

點評 本題考查了幾何概型的概率公式的運用以及利用定積分求曲邊梯形的面積的方法．