Question

14．已知等差數列{a_n}，如果a₄=7，a₈=15．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）令b_n=2ⁿ+a_n，求{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）設等差數列{a_n}的公差為d，運用等差數列的通項公式，列方程，解方程即可得到首項和公差，進而得到所求通項公式；
（2）求得b_n=2ⁿ+a_n=2ⁿ+2n-1，運用分組求和和等差數列、等比數列的求和公式，計算即可得到所求和．

解答 解：（1）設等差數列{a_n}的公差為d，
a₄=7，a₈=15．
可得a₁+3d=7，a₁+7d=15，
解得a₁=1，d=2，
則a_n=2n-1，n∈N*；
（2）b_n=2ⁿ+a_n=2ⁿ+2n-1，
即有前n項和S_n=（2+2²+…+2ⁿ）+（1+3+…2n-1）
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$+$\frac{1}{2}$（1+2n-1）n，
化簡可得${S_n}={n^2}+{2^{n+1}}$-2．

點評 本題考查等差數列的通項公式和求和公式的運用，考查數列的求和方法：分組求和，同時考查等比數列的求和公式，考查運算能力，屬于中檔題．