Question

1．已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分圖象如圖所示
（1）求函數f（x）的單調遞減區間；
（2）求函數f（x）在區間$[{\frac{π}{6}，\frac{π}{2}}]$上的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出振幅與周期，利用特殊點求解φ，求出函數的解析式，通過正弦函數的單調區間求解即可．
（2）求出相位的范圍，利用正弦函數的有界性求解即可．

解答 解：（1）由圖象得A=2．最小正周期T=$\frac{4}{3}（\frac{5π}{12}+\frac{π}{3}）=π$.$所以ω=\frac{2π}{T}=2$，
所以f（x）=2sin（2x+φ）．…（4分）
由$f（\frac{5π}{12}）=2$得，$2=2sin（\frac{5π}{6}+φ），所以\frac{5π}{6}+φ=2kπ+\frac{π}{2}（k∈Z）$，
又|φ|＜π得$φ=-\frac{π}{3}$，所以，所求函數的解析式為$f（x）=2sin（2x-\frac{π}{3}）$．…（6分）
由$\frac{π}{2}+2kπ＜2x-\frac{π}{3}＜\frac{3π}{2}+2kπ，k∈Z$得．所以$\frac{5π}{12}+kπ＜x＜\frac{11π}{12}+kπ$，
函數f（x）的單調減區間為$（\frac{5π}{12}+kπ，\frac{11π}{12}+kπ）（k∈Z）$．…（8分）
（2）$因為x∈[{\frac{π}{6}，\frac{π}{2}}]，所以2x-\frac{π}{3}∈[{0，\frac{2π}{3}}]$，
$所以0≤2sin（2x-\frac{π}{3}）≤2$，
即f（x）的取值范圍是[0，2]．…（14分）

點評 本題考查三角函數的解析式的求法，正弦函數的單調性以及三角函數的最值的求法，考查計算能力．