Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=2a_n-p，其中p是不為零的常數．
（1）證明：數列{a_n}是等比數列
（2）當p=2時，若數列{b_n}滿足b_n+1=b_n+a_n（n∈N^*），b₁=2，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由已知得a_n=2a_n-1，a₁=p，由此能證明{a_n}是首項為p公比為2的等比數列．
（2）因為當p=2時，a₁=2，則a_n=2ⁿ，由b_n+1=b_n+a_n（n∈N^*），得b_n+1-b_n=2ⁿ，由累加法得b_n=2ⁿ，由此能求出數列{b_n}的前n項和．

解答： （1）證明：因為S_n=2a_n-p，
則S_n-1=2a_n-1-p（n≥2），
所以當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，
整理得a_n=2a_n-1，
由S_n=2a_n-p，令n=1，得a₁=2a₁-p，
解得a₁=p，
所以{a_n}是首項為p公比為2的等比數列．
（2）解：因為當p=2時，a₁=2，則a_n=2ⁿ，
由b_n+1=b_n+a_n（n∈N^*），得b_n+1-b_n=2ⁿ，
當n≥2時，由累加得
b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）
=2+2+2²+…+2^n-1
=2+

2(1-2n-1)

1-2

=2ⁿ，
∴數列{b_n}的前n項和T_n=2+2²+…+2ⁿ=

2(1-2n)

1-2

=2ⁿ⁺¹-2．

點評：本題考查等比數列的證明，考查數列的前n項和的求法，解題時要認真審題，注意累加法的合理運用．