Question

若非零函數f（x）滿足f（x）=f（x-y）•f（y），且x＜0時，f（x）＞1，當f（6）=

1

9

時，
（1）求f（3）的值，并證明f（x）＞0．
（2）判斷函數f（x）的單調性并證明．
（3）若求使f（3sinx+1）•f（3-sinx）≤

1

3

成立的x的取值范圍．

Answer 1

考點：抽象函數及其應用,函數單調性的判斷與證明,函數單調性的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據抽象函數，利用賦值法證明f（x）＞0； 再令x=6，y=3，f（3）=

1

3

（2）根據函數單調性的定義證明f（x）為R上的減函數；
（3）利用函數單調性的性質，解不等式，以及三角函數的性質即可求出x的范圍．

解答： 解：令y=

x

2

，
則f（x）=f（x-

x

2

）f（

x

2

）=f²（

x

2

），
∵f（x）為非零函數
∴f（x）＞0．
再令x=6，y=3，
則f（6）=f（6-3）•f（3）=f²（3）=

1

9

，
∴f（3）=

1

3

（2）令x₁＜x₂且x₁，x₂∈R，
∵x＜0時，f（x）＞1，
∴f（x₁-x₂）＞1，
∴f（x₁）=f（x₁-x₂）•f（x₂）＞f（x₂）
∴f（x₁）＞f（x₂）
故f（x）為R上的減函數．
（3）∵f（3sinx+1）•f（3-sinx）=f（2sinx+4）≤f（3），
∴2sinx+4≥3，
∴sinx≥-

1

2

∴x∈[2kπ-

π

6

，2kπ+

7π

6

]，k∈z

點評：本題主要考查抽象函數的應用，以及函數單調性的定義，以及利用函數的單調性解不等式，考查學生的運算能力．