Question

在△ABC中，內角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，a²+b²=6abcosC，且sin²C=2sinAsinB．
（1）求角C的值；  
（2）設函數f（x）=sinωx-

3

cosωx（ω＞0），且f（x）圖象上相鄰兩最高點間的距離為π，求f（A）的取值范圍．

Answer 1

考點：余弦定理的應用,由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：計算題,三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：（1）運用余弦定理和正弦定理，結合特殊角的三角函數值，即可得到C；
（2）運用兩角差的正弦公式，結合周期公式、誘導公式和同角公式，計算化簡即可得到f（A）的范圍．

解答： 解：（1）由于a²+b²=6abcosC，
由余弦定理知a²+b²=c²+2abcosC，
即cosC=

c2

4ab

，
又sin²C=2sinAsinB，則由正弦定理得c²=2ab，
所以cosC=

c2

4ab

=

2ab

4ab

=

1

2

，
因為C∈（0，π），
所以C=

π

3

；
（2）f（x）=sinωx-

3

cosωx=2sin（ωx-

π

3

），
由f（x）圖象上相鄰兩最高點間的距離為π，
即有T=

2π

ω

=π得，ω=2，
則f（A）=2sin（2A-

π

3

），
由于C=

π

3

，且sin²C=2sinAsinB，
所以2sinAsin（

2π

3

-A）=

3

4

，整理得sin（2A-

π

6

）=

1

4

．
因為0＜A＜

2π

3

，所以-

π

6

＜2A-

π

6

＜

7π

6

，所以cos（2A-

π

6

）=±

15

4

．
f（A）=2sin（2A-

π

3

）=2sin（2A-

π

6

-

π

6

）
=2[sin（2A-

π

6

）•

3

2

-cos（2A-

π

6

）•

1

2

]
則①f（A）=2（

1

4

×

3

2

-

15

4

×

1

2

）=

3 - 15

4

，
②f（A=2（

1

4

×

3

2

+

15

4

×

1

2

）=

3 + 15

4

，
故f（A）的取值范圍是{

3 - 15

4

，

3 + 15

4

}．

點評：本題考查正弦定理和余弦定理的運用，考查兩角和差的正弦和余弦公式，考查正弦函數的圖象和性質，考查運算能力，屬于中檔題．