Question

已知一組曲線f（x）=alnx+bx+1，其中a∈{2，4，6，8}，b∈{1，3，5，7}，從這些曲線中任取兩條，它們在點（1，f（1））處的切線恰好平行的概率是（　　）

• A、

  1

  12

• B、

  7

  60

• C、

  3

  20

• D、

  1

  5

Answer 1

考點：列舉法計算基本事件數及事件發生的概率,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：概率與統計

分析：由題意知，所有拋物線條數是4×4=16條，從16條中任取兩條的方法數是C₁₆²=120，其中保證“它們在與直線x=1交點處的切線相互平行的”有14條，從而可求得它們在與直線x=1交點處的切線相互平行的概率．

解答： 解：a為2，4，6，8中任取一數，b為1，3，5，7中任取一數的曲線共16條，從這些曲線中任意抽取兩條共C₁₆²=120種．
函數的f（x）的導數f′（x）=

a

x

+b，
則在x=1處的切線斜率k=f′（1）=a+b，
在與直線x=1交點處的切線的斜率為k=a+b因為切線相互平行，
則斜率相等，即a+b相等，
當a+b=5時，共（2，3），（4，1）兩組，
當a+b=7時，共（2，5），（4，3），（6，1）三組，
當a+b=9時，共（2，7），（4，5），（6，3），（8，1）四組，
當a+b=11時，共（4，7），（6，5），（8，3），三組，
當a+b=13時，共（6，7），（8，5），兩組，合計14組，
則對應的概率為

14

120

=

7

60

，
故選：B

點評：本題主要考查了由導數的幾何意義求解曲線的切線的斜率，兩直線平行的條件的應用及古典概型兩種概率問題．