Question

14．在直角坐標系xoy中，曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2+2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數），以坐標原點為極點，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系．
（Ⅰ）寫出曲線C的極坐標方程；
（Ⅱ）設點M的極坐標為（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），過點M的直線l與曲線C相交于A，B兩點，求|MA|•|MB|

Answer 1

分析 （Ⅰ）由曲線C的參數方程先求出曲線C的直角坐標方程，由此能求出曲線C的極坐標方程．
（Ⅱ）先求出直線l的參數方程，與曲線C的直角坐標方程聯立，得t²+2（cosθ-sinθ）t-2=0，利用參數的幾何意義能求出|MA|•|MB|．

解答 解：（Ⅰ）曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2+2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數），
∴曲線C的直角坐標方程為x²+y²-4y=0，
∴曲線C的極坐標方程為ρ²-4ρsinθ=0，
即曲線C的極坐標方程為ρ=4sinθ．…5分
（Ⅱ）設直線l的參數方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=1+tsinα}\end{array}\right.$（α為參數）①
曲線C的直角坐標方程是x²+y²-4y=0，②
①②聯立，得t²+2（cosθ-sinθ）t-2=0，
∴t₁t₂=-2，
∴|MA|•|MB|=2…10分

點評 本題考查曲線的極坐標方程的求法，考查參數方程的運用，是中檔題．