Question

7．拋物線y²=4x與直線x=1圍成的封閉區域的面積為$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 方法一：求得交點坐標，對x積分，根據定積分的運算，即可求得答案；
方法二：求得交點坐標，對y積分，根據定積分的運算，即可求得答案．

解答 解：方法一：$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{x=1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-2}\end{array}\right.$，則A（1，2），B（1，-2），
∴S=2${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{x}$dx=2×$\frac{2}{3}$${x}^{\frac{3}{2}}$${丨}_{0}^{1}$=$\frac{4}{3}$，
∴拋物線y²=4x與直線x=1圍成的封閉區域的面積$\frac{4}{3}$，
故答案為：$\frac{4}{3}$．
方法二：$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{x=1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-2}\end{array}\right.$，則A（1，2），B（1，-2），
S=${∫}_{-2}^{2}$$\frac{{y}^{2}}{4}$dy=2${∫}_{0}^{2}$$\frac{{y}^{2}}{4}$dy=2×$\frac{{y}^{3}}{12}$${丨}_{0}^{2}$=$\frac{4}{3}$，
∴拋物線y²=4x與直線x=1圍成的封閉區域的面積$\frac{4}{3}$，
故答案為：$\frac{4}{3}$．

點評 本題考查定積分的運算，直線與拋物線的位置關系，考查計算能力，屬于基礎題．