Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的離心率e=

2 3

3

，經過A（a，0），B（0，-b）兩點的直線l與原點的距離d=

3

2

（1）求雙曲線C的方程；
（2）直線y=kx+5與雙曲線C交于M，N兩點，若|BM|=|BN|，求斜率k的值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,橢圓的標準方程

專題：計算題,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題意可得，

e= c a = 2 3 3 a2+b2 • 3 2 =ab c2=a2+b2

，從而解出雙曲線C的方程；
（2）由題意可得

y=kx+5 x2-3y2=3

，即（1-3k²）x²-30kx-78=0，從而得到中點E（

15k

1-3k2

，

5

1-3k2

），從而得到k•

2-k2

5k

=-1，從而求解．

解答： 解：（1）由題意可得，

e= c a = 2 3 3 a2+b2 • 3 2 =ab c2=a2+b2

，
解得，a=

3

，b=1，c=2；
故雙曲線C的方程為：

x2

3

-y2=1；
（2）由題意可得

y=kx+5 x2-3y2=3

，
即（1-3k²）x²-30kx-78=0，
設MN的中點為E，
則E（

15k

1-3k2

，

5

1-3k2

），
則k_EB=

2-k2

5k

，
則k•

2-k2

5k

=-1，
解得，k=±

7

．

點評：本題考查了圓錐曲線的定義及性質，同時考查了直線與圓錐曲線的關系，屬于難題．