Question

如圖，某山區的兩個工廠A、B直線距離14km，工廠C距A、B直線距離都是25km，E為線段AB的中點，在線段CE上選建變電站D，并從點D處鋪設到工廠A，B，C的輸電線DA，DB，DC．
（1）變電站D建在何處，可使鋪設的總輸電線長最短？
（2）因山區復雜條件，希望鋪設的三段輸電線中最遠一段的長度為最小，那么變電站D建在何處？

Answer 1

考點：根據實際問題選擇函數類型,利用導數求閉區間上函數的最值

專題：應用題,函數的性質及應用

分析：（1）設DE=xkm，鋪設的總輸電線長為lkm，由題意求出|CD|，|DA|的長度，得到總輸電線長l與x的函數關系式，利用導數求得最小值得答案；
（2）設DE=xkm，鋪設的三段輸電線中最遠一段的長度為d（x）km，然后寫出分段函數，根據分段函數的單調性得到三段輸電線中最遠一段的長度為最小時的D的位置．

解答： 解：（1）設DE=xkm，鋪設的總輸電線長為lkm，根據題意，
|CE|=

252-72

=24，|CD|=24-x，|DA|=|DB|=

x2+49

，
則l（x）=24-x+2

x2+49

（0≤x≤24）．
l′(x)=-1+

2x

x2+49

，令l′（x）=0，得x=

7 3

3

．
當x∈(0，

7 3

3

)時，l′（x）＜0，l（x）單調遞減，
x∈(

7 3

3

，24)時，l′（x）＞0，l（x）單調遞增，
∴當x=

7 3

3

時l（x）最小，
于是，變電站D建在線段CE上距點E

7 3

3

km處，可使鋪設的總輸電線長最短；
（2）設DE=xkm，鋪設的三段輸電線中最遠一段的長度為d（x）km，則有
d（x）=max{24-x，

x2+49

}（0≤x≤24），
d(x)=

24-x，24-x≥ x2+49 x2+49 ，24-x＜ x2+49

=

24-x，0≤x≤ 569 48 x2+49 ， 569 48 ＜x≤24

．
當x∈[0，

569

48

]時，d（x）=24-x單調遞減，x∈(

569

48

，24]時，d（x）=

x2+49

單調遞增，
∴x=

569

48

時，d（x）取得最小值．
于是變電站D建在線段CE上距點E

569

48

km處，可使鋪設的三段輸電線中最遠一段的長度為最小．

點評：本題考查了簡單的數學建模思想方法，考查了分段函數的應用，訓練了利用導數求函數的最值，是中檔題．