Question

下列命題為真命題的是

 

．（用序號表示即可）
①cos1＞cos2＞cos3；
②若a_n=a_n+3且a_n=n+3（n=1、2、3），則a₂₀₁₃＜a₂₀₁₄＜a₂₀₁₅；
③若e₁、e₂、e₃分別為雙曲線x²-

y2

3

=1、

x2

4

-

y2

3

=1、

x2

4

-y²=1的離心率，則e₁＞e₂＞e₃；
④若x₁＞x₂＞x₃，則lgx₁＞lgx₂＞lgx₃．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：函數的性質及應用

分析：①1＜

π

2

＜2＜3＜π，利用y=cosx在（0，π）上單調遞減的性質可判斷①；
②利用數列{a_n}是以3為周期的函數，可求得a₂₀₁₃=a₃，a₂₀₁₄=a₁，a₂₀₁₅=a₂，結合a_n=n+3（n=1、2、3），可判斷②；
③利用雙曲線的性質可求得e₁=2，e₂=

7

2

，e₃=

5

2

，從而可判斷③；
④利用對數的定義域為（0，+∞），可判斷④．

解答： 解：對于①，由于1＜

π

2

＜2＜3＜π，y=cosx在（0，π）上單調遞減，
所以cos1＞cos2＞cos3，故①正確；
對于②，由a_n=a_n+3得數列{a_n}是以3為周期的函數，故a₂₀₁₃=a₃，a₂₀₁₄=a₁，a₂₀₁₅=a₂，
又a_n=n+3 （n=1、2、3），故②錯；
對于③，因為e₁=2，e₂=

7

2

，e₃=

5

2

，故e₁＞e₂＞e₃，故③正確；
對于④，對數函數定義域必須大于0，故④錯．
故答案為：①③．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，著重考查余弦函數的單調性，數列的周期性及雙曲線的離心率，考查轉化思想．