Question

已知點A（-2，0），B（2，0），∠APB=135°．
（1）求點P的軌跡方程；
（2）點C（2，4），在（1）的軌跡上求一點M，使得|CM|最小，并求其最小值．

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：直線與圓

分析：（1）由題意結合正弦定理求出△ABP外接圓的直徑及圓心坐標，得到P在x軸上方和下方的兩個三角形的外接圓方程，得到以AB為弦的劣弧的軌跡得答案；
（2）畫出圖形，由圖形可得M點為圓心和C的連線與圓的交點，求出直線方程，聯立直線和圓錐曲線方程得答案．

解答： 解：（1）∵A（-2，0），B（2，0），
∴|AB|=4，在△ABP中，由

|AB|

sin∠APB

=

4

2 2

=4

2

，可知點P在過點A、B且直徑為4

2

的圓上，
點P的軌跡為以AB為弦的劣弧（除A、B兩點）．
且圓的圓心在y軸上，分別為（0，2）和（0，-2），
從而點P的軌跡方程為：x2+(y-2)2=8(2-2

2

≤y＜0)或x2+(y+2)2=8(0＜y≤2+2

2

)；
（2）如圖，

由圖可知，使得|CM|最小的點M在x2+(y+2)2=8(0＜y≤2+2

2

)上，
而圓x2+(y+2)2=8(0＜y≤2+2

2

)的圓心為（0，-2），
C（2，4）到圓心的距離為

(2-0)2+(4+2)2

=2

10

．
圓的半徑為2

2

，此時|FM|的最小值為2

10

-2

2

．
圓心與C的連線所在的方程為

y+2

4+2

=

x-0

2-0

，即y=3x-2．
聯立

y=3x-2 x2+(y+2)2=8

，解得

x= 2 5 5 y= 6 5 -10 5

．
∴M（

2 5

5

，

6 5 -10

5

）．

點評：本題考查了軌跡方程的求法，考查了數形結合的解題思想方法，考查了數學轉化思想方法，是中檔題．