Question

平面直角坐標系中，O為原點，射線OA與x軸正半軸重合，射線OB是第一象限角平分線．在OA上有點列A₁，A₂，A₃，…，A_n，…，在OB上有點列B₁，B₂，B₃，…，B_n，…已知

OAn+1

=

4

5

OAn

，A₁（5，0），|

OB1

|=

2

，|

OBn+1

|=|

OBn

|+

2

．
（1）求點A₂，B₁的坐標；
（2）求

OAn

，

OBn

的坐標；
（3）求△A_nOB_n面積的最大值，并說明理由．

Answer 1

考點：數列的應用

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由

OA2

=

4

5

OA1

和A₁（5，0）可求A₂（4，0），由射線OB是第一象限角平分線和|

OB1

|=

2

，利用向量模的公式可求B₁（1，1）．
（2）設

OAn

=(xn，0)，

OAn+1

=

4

5

OAn

，得(xn+1，0)=

4

5

(xn，0)，⇒xn+1=

4

5

xn⇒{x_n}成等比數列，又x1=5，q=

4

5

，得xn=5•(

4

5

)n-1，進而得到

OAn

=(5•(

4

5

)n-1，0)；設

OBn

=(yn，yn)，yn＞0，得|

OBn

|=

2

yn，由|

OBn+1

|=|

OBn

|+

2

，得y_n+1=y_n+1得{y_n}是等差數列，可求得y_n=1+（n-1）=n，進而求得

OBn

=(n，n)；（3）由S△AnOBn=

1

2

|

OAn

||

OBn

|sin

π

4

，可得S△AnOBn=

1

2

•5•(

4

5

)n-1•

2

n•

2

2

=

25n

8

•(

4

5

)n，利用換元法設tn=

25n

8

•(

4

5

)n，當n≥2時，tn-tn-1=

25n

8

•(

4

5

)n-

25(n-1)

8

•(

4

5

)n-1可知1≤n≤4時，{t_n}是遞增數列，n≥6時，{t_n}是遞減數列，即t₁＜t₂＜t₃＜t₄=t₅＞t₆＞t₇＞…＞t_n＞…進而求得(S△AnOBn)max=t4=t5=

128

25

．

解答： 解：（1）

OA2

=

4

5

OA1

=

4

5

(5，0)=(4，0)，A₂（4，0），（2分）
設B₁（x，x），x＞0，由|

OB1

|=

2

，得

x2+y2

=

2

，
x=1，∴B₁（1，1）．
（2）設

OAn

=(xn，0)，則(xn+1，0)=

4

5

(xn，0)，⇒xn+1=

4

5

xn，{x_n}成等比數列，
x1=5，q=

4

5

，xn=5•(

4

5

)n-1，
∴

OAn

=(5•(

4

5

)n-1，0)．（6分）
設

OBn

=(yn，yn)，yn＞0，|

OBn

|=

2

yn由|

OBn+1

|=|

OBn

|+

2

⇒yn+1=yn+1，
∴{y_n}是等差數列 （8分）y_n=1+（n-1）=n，
∴

OBn

=(n，n)．（9分）
（3）S△AnOBn=

1

2

|

OAn

||

OBn

|sin

π

4

=

1

2

•5•(

4

5

)n-1•

2

n•

2

2

=

25n

8

•(

4

5

)n，（11分）
設tn=

25n

8

•(

4

5

)n，當n≥2時，tn-tn-1=

25n

8

•(

4

5

)n-

25(n-1)

8

•(

4

5

)n-1=

125

128

•(

4

5

)n(5-n)，
∴1≤n≤4時，{t_n}是遞增數列，n≥6時，{t_n}是遞減數列，t₁＜t₂＜t₃＜t₄=t₅＞t₆＞t₇＞…＞t_n＞…，
∴(S△AnOBn)max=t4=t5=

128

25

．

點評：本題考查點A₂，B₁的坐標的求法，考

OAn

，

OBn

的坐標的求法，考查△A_nOB_n面積的最大值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意數列和向量知識的綜合應用．