Question

已知函數f（x）=2x³-ax²+6在x=1時取得極值
（1）求a的值，并求函數f（x）的單調區間；
（2）求函數f（x）的極大值和極小值．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數研究函數的極值

專題：計算題,導數的概念及應用

分析：（1）先求出導數f′（x）=6x²-2ax，由f′（1）=0得a=3，令f′（x）＞0得出函數的增區間，令f′（x）＜0得出函數的減區間；
（2）由（1）得：x=0時函數取得極大值，x=1時函數取得極小值，直接代入函數的解析式求出極值即可．

解答： 解：（1）f′（x）=6x²-2ax
又∵f′（1）=0，∴a=3
則f（x）=2x³-3x²+6
∴f′（x）=6x²-6x
令f′（x）＞0即6x²-6x＞0   得x＜0   或x＞1
令f′（x）＜0即6x²-6x＜0   得0＜x＜1
∴函數f（x）的單調增區間為：（-∞，0）和（1，+∞），
函數f（x）的單調減區間為：（0，1）
（2）由（1）得：x=0時函數取得極大值，x=1時函數取得極小值，
則函數f（x）_極大值=f（0）=6
函數f（x）_極大值=f（1）=5．

點評：本題主要考查了函數的極值問題及導數的應用，利用導數作為工具去研究函數的性質非常方便．