Question

如圖，四棱錐E-ABCD中，面ABE⊥面ABCD，側面ABE是等腰直角三角形，EA⊥EB，且AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC=2．
（Ⅰ）求證：AB⊥ED；
（Ⅱ）求直線CE與面ABE的所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,空間中直線與直線之間的位置關系

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）作EM⊥AB，交AB于M，連結DM，由已知得四邊形BCDM是邊長為1的正方形，由此能證明AB⊥ED．
（Ⅱ）由已知得BC⊥面ABE，直線CE與面ABE所成角為∠CEB，由此能求出直線CE與面ABE的所成角的正弦值．

解答： （Ⅰ）證明：作EM⊥AB，交AB于M，連結DM，
∵△ABE為等腰直角三角形，
∴M為AB的中點，
∵AB=2CD=2BC=2，AB∥CD，AB⊥BC，
∴四邊形BCDM是邊長為1的正方形，
∴AB⊥DM，
∵EM∩DM=M，
∴AB⊥面DEM，∴AB⊥ED．
（Ⅱ）解：∵AB⊥BC，面ABE⊥面ABCD，面ABE∩平面ABCD=AB，
∴BC⊥面ABE，直線CE與面ABE所成角為∠CEB，
∵BC=1，BE=

2

，
∴CE=

3

，∴sin∠CEB=

3

3

．

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．