Question

設F₁，F₂分別是橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦點，M是E上一點且MF₂與x軸垂直，直線MF₁與E的另一個交點為N．
（1）若直線MN的斜率為

3

4

，求E的離心率；
（2）若直線MN在y軸上的截距為1，且a=3，求|MN|的長．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）求出M的坐標，表示出MN的斜率得到a，b，c滿足的條件，求出離心率e；

（2）由題意，設MN與y軸交于P，Z則OP∥F₂M，得到

1

b2 a

=

1

2

，求出橢圓方程，將直線方程與橢圓方程聯立，利用弦長公式求出MN的值．

解答： 解：（1）將x=c代入

x2

a2

+

y2

b2

=1得
y=

b2

a

∴M（c，

b2

a

）；
∵F₁（-c，0），
∵MN的斜率為

3

4

，
∴

3

4

=

b2 a

2c

，
∵b²=a²-c²
∴2a²-3ac-2c²=0
∴2e²+3e-2=0
解得e=

1

2

，e=-2
e=-2不合題意
∴e=

1

2

（2）由題意，設MN與y軸交于P，Z則OP∥F₂M，
∴

1

b2 a

=

1

2

，
∵a=3，
∴b²=6，
∴橢圓方程為：

x2

9

+

y2

6

=1
∵直線MN過點(-

3

，0)和（0，1）故直線MN的方程為y=

3

3

x+1，即x=

3

(y-1)
代入橢圓方程得

x2 9 + y2 6 =1 x= 3 (y-1)

消x得 3y²-4y-4=0
∴

y1+y2= 4 3 y1y2=- 4 3

，
(y1+y2)2-4y1y2=

16

9

+

16

3

=

64

9

故|y1-y2|=

8

3

，
所以|MN|=|y1-y2|

1+ 1 k2

=

8

3

1+( 3 )2

=

16

3

，
故|MN|的長

16

3

．

點評：本題考查橢圓中離心率的求法；考查直線與圓錐曲線相交的弦長的求法，屬于中檔題．