Question

19．下列命題
①命題“?x₀∈R，x₀²+1＞3x₀”的否定是“?x∈R，x²+1≤3x”；
②“函數f（x）=cos²ax-sin²ax的最小正周期為π”是“a=1”的必要不充分條件；
③“平面向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{b}$的夾角是鈍角”的充分必要條件是“$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$＜0”；
④設有四個函數y=x^-1，y=${x^{\frac{1}{2}}}$，y=x²，y=x³其中在（0，+∞）上是增函數的函數有3個．
真命題的序號是①②④．

Answer 1

分析 對于①，根據含有量詞的命題的否定即可判斷；對于②，先利用二倍角公式將f（x）化簡，然后根據T=$\frac{2π}{|ω|}$求出a的值，再判斷充分必要性；對于③，根據向量數量積的定義以及兩向量夾角的取值范圍進行判斷；對于④，根據冪函數的性質分別判斷四個函數在（0，+∞）上的單調性即可．

解答 解：對于①：全稱命題的否定是存在性命題（也叫特稱命題），所以命題“?x₀∈R，x₀²+1＞3x₀”的否定是“?x∈R，x²+1≤3x”，故①正確；
對于②：由二倍角公式可知，f（x）=cos²ax-sin²ax=cos2ax，由T=$\frac{2π}{|2a|}=π$，得a=±1，因為“a=±1“是“a=1”的必要不充分條件，故②正確；
對于③：記$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{b}$的夾角為θ．若平面向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{b}$的夾角是鈍角，則$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cosθ$＜0；若$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$＜0，則cosθ＜0，即$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{b}$的夾角θ是鈍角或平角（即180°）．
所以“$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$＜0”是“平面向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{b}$的夾角是鈍角”的必要不充分條件，故③不正確；
對于④：根據冪函數的性質，y=x^-1在（0，+∞）上是減函數，y=${x^{\frac{1}{2}}}$，y=x²，y=x³其中在（0，+∞）上是增函數，故④正確．
故答案為：①②④

點評 本題主要考查了命題的真假判斷，同時也考查了含有量詞的命題的否定，三角函數，向量以及冪函數的性質等知識點，對學生要求較高，屬于中檔題．