Question

18．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點為F₁、F₂，在雙曲線上存在點P滿足3|$\overrightarrow{P{F_1}}+\overrightarrow{P{F_2}}|≤2|\overrightarrow{{F_1}{F_2}}$|，則雙曲線的漸近線的斜率$\frac{a}$的取值范圍是（　�。�

• A． $0＜\frac{a}≤\frac{3}{2}$
• B． $\frac{a}≥\frac{3}{2}$
• C． $0＜\frac{a}≤\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• D． $\frac{a}≥\frac{{\sqrt{5}}}{2}$

Answer 1

分析 由OP為△F₁PF₂的中線，可得$\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=2$\overrightarrow{OP}$，結合雙曲線的范圍，可得|$\overrightarrow{OP}$|≥a，|$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$|=2c，即有6a≤4c，結合雙曲線的a，b，c的關系，可得a，b的不等關系，由漸近線的斜率，即可得到所求范圍．

解答 解：由OP為△F₁PF₂的中線，可得：
$\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=2$\overrightarrow{OP}$，
由3|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|≤2|$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$|，
可得6|$\overrightarrow{OP}$|≤2|$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$|，
由|$\overrightarrow{OP}$|≥a，|$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$|=2c，
可得6a≤4c，
即為9a²≤4c²，
由c²=a²+b²，
可得5a²≤4b²，
可得$\frac{a}$≥$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故選：D．

點評 本題考查雙曲線的方程和性質，主要是漸近線的斜率和雙曲線的范圍，考查中點向量的表示以及向量的模的定義，以及運算能力，屬于中檔題．