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10.已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的一個焦點為F(2,0),且離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$
(1)求橢圓方程;
(2)過點M(3,0)作直線與橢圓交于A,B兩點,求△OAB面積的最大值.

分析 (1)依題意有c=2,$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$,又a2=b2+c2,聯立解出即可得出.
(2)由題意可知過點M的直線斜率存在且不等于0,設直線方程為y=k(x-3).與橢圓方程聯立可得(1+3k2)y2+6ky+3k2=0,利用根與系數的關系可得:S△OAB=$\frac{1}{2}$|OM|•|y1-y2|=3$\sqrt{\frac{6{k}^{2}-9{k}^{4}}{1+6{k}^{2}+9{k}^{4}}}$=3$\sqrt{\frac{12{k}^{2}+1}{(3{k}^{2}+1)^{2}}-1}$,令3k2+1=t≥1,可得S△OAB=3$\sqrt{\frac{4t-3}{{t}^{2}}-1}$=3$\sqrt{-3(\frac{1}{t}-\frac{2}{3})^{2}+\frac{1}{3}}$,利用二次函數的單調性即可得出.

解答 解:(1)依題意有c=2,$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$,又a2=b2+c2
可得a2=6,b2=2.
故橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1.
(2)由題意可知過點M的直線斜率存在且不等于0,設直線方程為y=k(x-3).
聯立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=k(x-3)}\\{\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$,消去x得(1+3k2)y2+6ky+3k2=0,
∴y1+y2=-$\frac{6k}{1+3{k}^{2}}$,y1y2=$\frac{3{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$,
∴S△OAB=$\frac{1}{2}$|OM|•|y1-y2|=$\frac{1}{2}$×3×$\sqrt{({y}_{1}+{y}_{2})^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$
=$\frac{1}{2}×$3$\sqrt{\frac{24{k}^{2}-36{k}^{4}}{1+6{k}^{2}+9{k}^{4}}}$=3$\sqrt{\frac{6{k}^{2}-9{k}^{4}}{1+6{k}^{2}+9{k}^{4}}}$=3$\sqrt{\frac{12{k}^{2}+1}{(3{k}^{2}+1)^{2}}-1}$,
令3k2+1=t≥1,則S△OAB=3$\sqrt{\frac{4t-3}{{t}^{2}}-1}$=3$\sqrt{-3(\frac{1}{t}-\frac{2}{3})^{2}+\frac{1}{3}}$≤$\sqrt{3}$,當且僅當t=$\frac{3}{2}$,即k2=$\frac{1}{6}$,k=$±\frac{\sqrt{6}}{6}$時取等號.
∴△OAB面積的最大值為$\sqrt{3}$.

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交弦長問題、一元二次方程的根與系數的關系、換元法、二次函數的單調性,考查了推理能力與計算能力,屬于難題題.

練習冊系列答案
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20.已知函數f(x)=Asin(ωx+ϕ),x∈R(其中A>0,ω>0,0<ϕ<$\frac{π}{2}$)的圖象與x軸的交點中,相鄰兩個交點之間的距離為$\frac{π}{4}$,且圖象上一個最低點為$M(\frac{π}{3},-1)$.
(Ⅰ)求f(x)的表達式;
(Ⅱ)將函數f(x)的圖象向右平移$\frac{π}{8}$個單位,再將圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),得到函數y=g(x)的圖象,若關于x的方程g(x)+k=0,在區間[0,$\frac{π}{2}$]上有且只有一個實數解,求實數k的取值范圍.

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(Ⅰ)求函數f(x)=x3-3x2+3x的對稱中心.
(Ⅱ)對于(Ⅰ)中的函數f(x),計算f(-98)+f(-97)+…+f(-1)+f(0)+f(1)+…+f(99)+f(100).

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A.$\sqrt{2}$B.$2+\sqrt{3}$C.$2+\sqrt{2}$D.$2\sqrt{3}$

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2.某四面體的三視圖如圖所示,其中側視圖與俯視圖都是腰長為2的等腰直角三角形,正視圖是邊長為2的正方形,則此四面體的體積為$\frac{4}{3}$,表面積為2+2$\sqrt{3}+4\sqrt{2}$.

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(1)求數列{an}的通項公式;
(2)設bn=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n+1}}$,求數列{bn}的前n項和Tn

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