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15.已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,點P在雙曲線的右支上,且|PF1|=λ|PF2|(λ>1),$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=0$,雙曲線的離心率為$\sqrt{2}$,則λ=(  )
A.$\sqrt{2}$B.$2+\sqrt{3}$C.$2+\sqrt{2}$D.$2\sqrt{3}$

分析 由雙曲線的定義可得,|PF1|-|PF2|=2a,|PF1|=λ|PF2|,可得|PF1|,|PF2|,再由勾股定理和離心率公式,可得
λ2-4λ+1=0,解方程可得所求值.

解答 解:由雙曲線的定義可得,|PF1|-|PF2|=2a,
|PF1|=λ|PF2|,可得|PF1|=$\frac{2aλ}{λ-1}$,
|PF2|=$\frac{2a}{λ-1}$,
由雙曲線的離心率為$\sqrt{2}$,可得c=$\sqrt{2}$a=$\sqrt{2}$b,
由$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0,可得PF1⊥PF2
即有|PF1|2+|PF2|2=4c2=8a2
即有$\frac{4{a}^{2}{λ}^{2}}{(λ-1)^{2}}$+$\frac{4{a}^{2}}{(λ-1)^{2}}$=8a2
即為λ2-4λ+1=0,
解得λ=2+$\sqrt{3}$(2-$\sqrt{3}$舍去).
故選:B.

點評 本題考查雙曲線的定義、方程和性質,注意運用雙曲線的定義和離心率公式、勾股定理,考查化簡整理的運算能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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