Question

2．已知平面直角坐標系中點A（1，-1），B（4，0），C（2，2），平面區域D由所有滿足$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AC}$（$1＜λ≤\frac{3}{2}$，1＜μ≤b）的點P（x，y）組成的區域，若區域D的面積為8，則b的值為（　　）

• A． 3
• B． 4
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 設P點坐標，根據向量數量積的坐標運算，求得λ和μ，由λ和μ的取值范圍，即可求得$\left\{\begin{array}{l}{12＜3x-y≤16}\\{4＜3y-x≤8b-4}\end{array}\right.$，畫出可行域，求得E和F點坐標，利用兩點之間的距離公式求得|EF|，根據兩平行線之間的距離公式，求得3y-x-4=0與3y-x+4-8b=0距離為$\frac{8b-8}{\sqrt{10}}$，根據平行四邊形的面積公式，即可求得b的值．

解答 解：設P的坐標為（x，y），
∵A（1，-1），B（4，0），C（2，2），
∴$\overrightarrow{AP}$=（x-1，y+1），$\overrightarrow{AB}$=（3，1），$\overrightarrow{AC}$=（1，3），
∵$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AC}$（$1＜λ≤\frac{3}{2}$，1＜μ≤b），
∴（x-1，y+1）=λ（3，1）+μ（1，3）=（3λ+μ，λ+3μ），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-1=3λ+μ}\\{y+1=λ+3μ}\end{array}\right.$，
解得λ=$\frac{3x-y-4}{8}$，μ=$\frac{3y-x+4}{8}$，
∵$1＜λ≤\frac{3}{2}$，1＜μ≤b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1＜\frac{3x-y-4}{8}≤\frac{3}{2}}\\{1＜\frac{3y-x+4}{8}≤b}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{12＜3x-y≤16}\\{4＜3y-x≤8b-4}\end{array}\right.$，
作出不等式組對應的平面區域，
∵$\left\{\begin{array}{l}{3x-y=12}\\{3y-x=4}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{3x-y=16}\\{3y-x=4}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{13}{2}}\\{y=\frac{7}{2}}\end{array}\right.$，
則E（5，3），F（$\frac{13}{2}$，$\frac{7}{2}$），則丨EF丨=$\sqrt{（\frac{13}{2}-5）^{2}+（\frac{7}{2}-3）}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$
3y-x-4=0與3y-x+4-8b=0距離為$\frac{8b-8}{\sqrt{10}}$，
∴平面區域的面積為S=$\frac{\sqrt{10}}{2}$•$\frac{|8-8b|}{\sqrt{10}}$=8，
解得b=3，
故選A．

點評 本題考查了向量的平行四邊形法則、數量積運算性質、平行四邊形的面積計算公式、兩平行線之間的距離公式，考查了作圖能力、推理能力與計算能力，屬于難題．