Question

如圖，在四棱錐E-ABCD中，底面ABCD為矩形，平面ABCD⊥平面ABE，∠AEB=90°，BE=BC，F(xiàn)為CE的中點(diǎn)，求證：
（1）AE∥平面BDF；
（2）平面BDF⊥平面BCE．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）設(shè)AC∩BD=G，連結(jié)FG，易知G是AC的中點(diǎn)，可證FG∥AE，從而可證AE∥平面BDF．
（2）由BC⊥平面ABE．可證BC⊥AE，由AE⊥平面BCE，可證FG⊥平面BCE，從而可證平面BDF⊥平面BCE．

解答： 證明：（1）設(shè)AC∩BD=G，連結(jié)FG，易知G是AC的中點(diǎn)，
因?yàn)?nbsp;F是EC中點(diǎn)，所以 在△ACE中，F(xiàn)G∥AE．…（2分）
因?yàn)?nbsp;AE?平面BDF，F(xiàn)G?平面BDF，
所以 AE∥平面BDF． …（6分）

（2）因?yàn)?nbsp;平面ABCD⊥平面ABE，BC⊥AB，
平面ABCD∩平面ABE=AB，所以 BC⊥平面ABE．…（8分）
因?yàn)?nbsp;AE?平面ABE，所以 BC⊥AE．…（10分）
又AE⊥BE，BC∩BE=B，所以 AE⊥平面BCE，又FG∥AE，
所以FG⊥平面BCE，…（12分）
因?yàn)?nbsp;FG?平面BDF，所以平面BDF⊥平面BCE．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了平面與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，連接GF，證明FG∥AE是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．