Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CB₁⊥BA₁，∠CAB=

π

2

，AB=2，BC=

5

，求三棱錐C₁-ABA₁的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關系與距離

分析：在Rt△ABC中，利用勾股定理，得到AC=

BC2-AB2

=1，又因為直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁C₁=AC=1且AC⊥平面ABB₁A₁，得到A₁C₁是三棱錐C₁-ABA₁的高，且它的長度為1．再根據正方形ABB₁A₁面積得到△ABA₁的面積，最后根據錐體體積公式，得到三棱錐C₁-ABA₁的體積．

解答： 解：∵AB=2，BC=

5

，
∴Rt△ABC中，AC=

BC2-AB2

=1，
∴直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁C₁=AC=1，
又∵AC∥A₁C₁，AC⊥平面ABB₁A₁，
∴A₁C₁是三棱錐C₁-ABA₁的高．
∵△ABA₁的面積等于正方形ABB₁A₁面積的一半，
∴S△ABA1=

1

2

AB²=2，
三棱錐C₁-ABA₁的體積為V=

1

3

×S△ABA1×A₁C₁=

1

3

×2×1=

2

3

．

點評：本題根據底面為直角三角形的直三棱柱，著重考查錐體體積公式等知識點，屬于中檔題．