Question

已知函數f（x）=kx+lnx（k是常數）．
（1）討論函數f（x）的單調性；
（2）當k=0時，是否存在不相等的正數a，b滿足

f(a)-f(b)

a-b

=f′(

a+b

2

)？若存在，求出a，b；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數求閉區間上函數的最值

專題：計算題,函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：（1）求導f′（x）=

kx+1

x

，（x＞0），從而討論導數的正負以確定函數的單調性；
（2）不妨設存在a＞b＞0合題意，從而可得ln

a

b

=

2(a-b)

a+b

；令

a

b

=x得lnx=

2(x-1)

x+1

；構造函數F（x）=lnx-

2(x-1)

x+1

，（x≥1）；從而轉化為函數的最值問題．

解答： 解：（1）f′（x）=

kx+1

x

，（x＞0）
①當k≥0時，f′（x）＞0；
故函數f（x）在定義域上單調遞增；
②當k＜0時，當x∈（0，-

1

k

）時，f′（x）＞0；
當x∈（-

1

k

，+∞）時，f′（x）＜0；
故函數f（x）在（0，-

1

k

）上單調遞增，在（-

1

k

，+∞）上單調遞減；
（2）不妨設存在a＞b＞0合題意，
則整理可得，ln

a

b

=

2(a-b)

a+b

；
令

a

b

=x得，lnx=

2(x-1)

x+1

；
則構造函數F（x）=lnx-

2(x-1)

x+1

，（x≥1）；
則F（1）=0，F′（x）=

(x-1)2

x(x+1)2

≥0；
故F（x）在[1，+∞）上單調遞增，
故F（

a

b

）＞F（1）=0；
故與ln

a

b

=

2(a-b)

a+b

相矛盾；
故假設不成立，
即符合題意的不相等的正數a，b不存在．

點評：本題考查了導數的綜合應用及存在性命題的判斷，屬于中檔題．