Question

（2x+

1

x

）ⁿ展開式中所有的項的系數為243．
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ）求展開式中x²項的系數．

Answer 1

考點：二項式定理的應用

專題：二項式定理

分析：（I）依題意，得3ⁿ=243，可得n=5；
（Ⅱ）由（2x+

1

x

）⁵的二項展開式的通項公式T_r+1=

C

r 5

•（2x）^5-r•x-

r

2

=2^5-r•

C

r 5

•x5-

3r

2

，知5-

3

2

r=2，可求得r=2，從而可得展開式中x²項的系數．

解答： 解：（I）∵（2x+

1

x

）ⁿ展開式中所有的項的系數為243，
∴當x=1時，有3ⁿ=243，
∴n=5；
（Ⅱ）設（2x+

1

x

）⁵展開式中的通項T_r+1=

C

r 5

•（2x）^5-r•x-

r

2

=2^5-r•

C

r 5

•x5-

3r

2

，
令5-

3

2

r=2，得r=2，
∴展開式中x²項的系數為：2³•

C

2 5

=80．

點評：本題考查二項式定理的應用，著重考查二項式系數的性質及二項展開式的通項公式的應用，屬于中檔題．