Question

已知函數y=

x2+3x-2

x+1

，求值域和單調區間．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,函數單調性的判斷與證明

專題：計算題,函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：先求函數的定義域，再利用導數求函數的單調區間，利用判別式法求函數的值域．

解答： 解：由題意，y=

x2+3x-2

x+1

的定義域為{x|x≠-1}；
y′=

(2x+3)(x+1)-(x2+3x-2)

(x+1)2

=

x2+x+5

(x+1)2

＞0，
故y=

x2+3x-2

x+1

在（-∞，-1），（-1，+∞）上都是增函數，
化簡y=

x2+3x-2

x+1

得，
x²+（3-y）x-2-y=0；
故△=（3-y）²+4（2+y）≥0；
即y²-2y+17≥0，
上式顯然成立；
故值域為R．

點評：本題考查了函數的值域的求法及函數的單調性的判斷，屬于中檔題．