Question

等差數列{a_n}中的a₁，a₄₀₂₇是函數f（x）=x³-2x²-x+1的兩個極值點，則函數y=sin（a₂₀₁₄x+

π

6

）是周期為

 

．

Answer 1

考點：數列與函數的綜合,利用導數研究函數的極值

專題：導數的綜合應用,等差數列與等比數列

分析：求出函數的導數，利用極值點以及等差數列的性質求出a₂₀₁₄的值，然后通過函數的周期求解即可．

解答： 解：函數f（x）=x³-2x²-x+1，導數f′（x）=3x²-4x-1，
∵a₁，a₄₀₂₇是函數f（x）=x³-2x²-x+1的兩個極值點，
∴a₁，a₄₀₂₇是3x²-4x-1=0的兩個實數根，
則

4

3

=a₁+a₄₀₂₇=2a₂₀₁₄，∴a₂₀₁₄=

2

3

，
函數y=sin（a₂₀₁₄x+

π

6

）=sin（

2

3

x+

π

6

），
所以函數的周期為：T=

2π

2 3

=3π．
故答案為：3π．

點評：本題考查函數的極值的求法，等差數列的應用，三角函數的周期的求法，是難度不大的綜合題目．