Question

已知定義在R上的函數f（x）=

-2x+a

2x+1+2

（a為實常數）是奇函數g（x）=2（x-x²）
（Ⅰ）求a的值，判斷并證明函數f（x）的單調性；
（Ⅱ）若對任意的t∈[-1，4]，不等式f（g（t）-1）+f（8t+m）＜0（m為實常數）都成立，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數恒成立問題

專題：函數的性質及應用

分析：（Ⅰ）根據奇函數的性質得f（0）=0，解出即可；設x₁＜x₂，依據奇函數的定義只需利用作差證明f（x₁）＞f（x₂）；
（Ⅱ）先根據f（x）為奇函數和減函數，化簡得到2（t-t²）-1＞-8t-m，在t∈[-1，4]恒成立，再分離參數，構造函數，根據二次函數的性質，求出h（t）的最大值，問題得以解決，

解答： 解：（Ⅰ）∵定義在R上的函數f（x）=

-2x+a

2x+1+2

（a為實常數）是奇函數，
∴f（0）=0，
即

-1+a

2+2

=0，
解得a=1，
∴f（x）=

-2x+1

2(2x+1)

=

-(2x+1)+2

2(2x+1)

=-

1

2

+

1

2x+1

，
設x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=-

1

2

+

1

2x1+1

+

1

2

-

1

2x2+1

=

2x2-2x1

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵x₁＜x₂，
∴2x2-2x1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）為R上的減函數；
（Ⅱ）∵f（g（t）-1）+f（8t+m）＜0（m為實常數）都成立，
∴f（g（t）-1）＜-f（8t+m）=f（-8t-m），
∴g（t）-1＞-8t-m，
∴2（t-t²）-1＞-8t-m，在t∈[-1，4]恒成立，
∴m＞t²-9t+1=（t-

9

2

）²-

77

4

在t∈[-1，4]恒成立，
設h（t）=t²-9t+1=（t-

9

2

）²-

77

4

，
∴h（t）在∈[-1，4]為減函數，
∴h（t）_nax=h（-1）=1+9+1=11，
∴m＞11，
故m的取值范圍為（11，+∞）

點評：本題考查了函數的奇偶性的性質和函數的單調性的證明，以及函數恒成立的問題，關鍵是分離參數，求出函數的最值，屬于中檔題